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摘要: 一、简单随机抽样:抽签法和随机数法1.一般地,设一个总体含有N个个体(有限),从中逐个不放回地抽取n个个体作

【数学】“统计与统计案例”知识点总结

一、简单随机抽样:抽签法和随机数法


1.一般地,设一个总体含有N个个体(有限),从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等(n/N),就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。


2.一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本,这种抽样方法叫做抽签法。


抽签法的一般步骤:


(1)将总体的个体编号。


(2)连续抽签获取样本号码。


3.利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法。


随机数表法的步骤:


(1)将总体的个体编号。


(2)在随机数表中选择开始数字。


(3)读数获取样本号码。


4.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。


系统抽样


1.一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。


系统抽样的一般步骤:


(1)采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。


(2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔k=N/n。(k∈N,L≤k)。


(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L(L∈N,L≤k)。


(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K,再加上K得到第3个个体编号L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。


在确定分段间隔k时应注意:分段间隔k为整数,当N/n不是整数时,应采用等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔k。


分层抽样


1.一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。


分层抽样的步骤:


(1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。  


(2)按比例确定每层抽取个体的个数。


(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。    


(4)综合每层抽样,组成样本。


2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点:


(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面层之间的样本差异要大,且互不重叠。


(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。


(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。


用样本的频率分布估计总体分布


1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。


其一般步骤为:


(1)计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差   


(2)决定组距与组数


(3)将数据分组     


(4)列频率分布表      


(5)画频率分布直方图


2.频率分布折线图、总体密度曲线


频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。


总体密度曲线:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,给我们提供更加精细的信息。


3.当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。


茎叶图的特征:


(1)用茎叶图表示数据有两个优点:


一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示。


(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。


用样本的数字特征估计总体的数字特征


1.众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法。

 


变量之间的相关关系


例1:


1.相关关系:两个变量之间的关系可能是确定的关系(如:函数关系),或非确定性关系。当自变量取值一定时,因变量也确定,则为确定关系;当自变量取值一定时,因变量带有随机性,这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。


2.散点图的概念:将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图。


(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系。


(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系。


(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。


3.正相关与负相关概念:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关。如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关。(注:散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系)


4.从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这这两个变量之间具有线形相关关系,直线叫回归直线。


5.教学最小二乘法:


(1)求回归方程的关键是如何用数学的方法刻画"从整体上看,各点与此直线的距离最小"。


(2)最小二乘法公式:求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。

 

题型一抽样方法


1.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150150400300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为          

  

2.利用简单随机抽样的方法,从n个个体(n13)中抽取13个个体,依次抽取,若第二次抽取后,余下的每个个体被抽取的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为       


变式1某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取      ____     ____     ____辆。


变式2经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的5“喜欢”摄影的同学、1“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多     人。


题型统计图表问题


例2:从一条生产线上每隔30分钟取一件产品,共取了n件,测得其产品尺寸后,画得其频率直方图如下.尺寸在[15,45)内的频数为46。


(1)求n的值;

(2)求尺寸在[20,25)内产品的个数。

  

变式3有一个容量为100的样本,数据的分组及各组的频数如下:

12.515.5],6;[15.518.5],16;[18.521.5],18;[21.524.5],22

24.527.5),20;[27.530.5),10;[30.533.5),8。


(1)列出样本的频率分布表;

(2)画出频率分布直方图;

(3)估计数据小于30.5的概率。

 

题型平均数、标准差(方差)的计算问题

 

3:一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:

9.4    8.4    9.4    9. 9    9.6    9.4     9.7


去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为(    )


A.9.40.484

B.9.40.016       

C.9.50.04

D.9.50.016

 

变式4: 



变式5

A.1

B.2

C.3

D.4


题型线性回归分析


4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据:  

 

  

变式6为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析。下面是该生次考试的成绩。


数学

888

883

1117

992

1108

1100

1112

物理

994

991

1108

996

1104

1101

1106


1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;


2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,若该生的物理成绩达到分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议。


(来源:广东高考在线)